下面是小编为大家整理的第三期（完整文档）,供大家参考。
探
索
题 第三期 设)(tf是 以2 π 为 周 期 的 光 滑 函 数 , 且 满 足 (1)
, 0sin)(cos)() 2 ( ,R, 0)(2π02π0==∈∀∫∫tdttftdttfttf试用分析的方法证明: (1) : 设. 0,)sin()()(θ212π02π0>−=∫∫sdtttfdθfs则θ (2) :.)(θ,4π,)(θ22π0为常值函数等号成立当且仅当则设θdflsfI≤=∫
注: 这个问题来源于几何上的事实: 我们可以在平面上构造出充分光滑的凸的闭曲线 C, s 为 C所围面积, I 恰为 C之周长. 命题(1) 在几何上看是显然的, 命题(2) 就是著名的等周不等式,)(θF相当于 C上每一点处的曲率半径.
1)
证:0)(>tf ), 0 ( πθ ∈∴时∫2f>−θθ00)sin()(dtttf 又0sin)(cos)(02π0==∫∫tdtttdttfπ ∫0sin)(coscos)(sin)sin()(2π02π02π0=−=−∴∫∫∫θθθtdttftdttfdtttf ∫∫−=−⇒θπ2θθθ0)sin()()sin()(dtttfdtttf 则)2 ,(ππθ ∈时, 令)2 (f)(,2πttg−=−=′πθθ 则), 0 ( πθ ∈′时,
∫∫−θ′−−−=−′<π2θθπ2πθ00)sin()2 (f)sin()(0dtttdtttg dt)ttfdtttftttdt) )tf∫∫∫−=−−=′−−−−=−θθθπ2π2θθπ2ππθπ00sin()()sin()()2 (2 (sin()2 (综上知:0)sin()(0>−∫dtttfθθ
)2 , 0 (πθ ∈
故:0)sin()()(θ2102π0>−=∫∫dtttfdθfSθθ成立 2)
证: 设∑=n∞++=10)sincos(2)(nnntbntaatf (1)
式积分得))1 ( 21)(4212220nbaaSn∑≠nn−++=∞π(分析见后)
02π0)(adttfLπ==∫
0) 1−(1)(2π4π22n2n22≥−=−∴∑nbaSL成立 等号成立时,2)(00 atfbann=⇒==为常数.
从dtttffdtttfdθfS 0∫)sin()()(θ21)sin()()(θ212002π0−=−=∫ ∫∫θθλθθ (1)()∫ ∫ ∑∑∑∑+++=≠π2θθnθnθnθn00sinsincossinsincoscoscos21,mtaamtaamtaamtaanmmnmnmnmn∑∫ ∫∑∫ ∫π2∑∫ ∫π2∫ ∫π2∑−+−+−+−=−θθθλ2θθdθθnθdθθnθdθθnθdθϑnθ100000000)sin(sinsin21)sin(sincos21)sin(cossin21)sin(coscos2)sin(dttmtaadttmtaadttmtaadttmtaadttmnmnmnmn 对形式积分dtdθtmtnθθπ2θ)sin(coscos00−∫ ∫可手工积分也可用 Mathematica中的 Integrate[] , 即}];, 0 ,t{},2 , 0 ,θ{),sin(cos)([θθθnpitmtCosIntegrate− 程序将给你一个简单值, 然后你可观察 m、 n 取０ 或其他整数值上的情况， 仿照以上， 对其它四式也可用同样的方法取得nm ≠ 时， 积分值为零，0≠= nm时， 值为21n−π或０ ，2n2,nba前取21n−π其余取０ , m=n=0时值为 π2 即420 a前的系数为 π2 。
综上：∑+−+=)()1 ( 242n2n220banaSππ ３ ）
事实上， 考虑其几何意义在平面上作出 n+１ 个点),,(),,(00kkyxyx其中 )2sin(2π)2(),2cos(2π)2(11nkπnnkπfyynkπnnkπfxxkkkk+=+=++
0, 000==yx 可证∞→n时， 逼近一凸图形且光滑， 这就是符合以)(xf为曲率半径的曲 线 。
如 图 ：34 段 长4)86π(πf，２ 到 其 距 离 为)sin(2334θθ −即,4)sin()84π(34πθ−θf故０ 到 34的距离为iiiifθ∆θ−θθ(∑=)sin()431仿上可知，
dtttfdθfds)sin()(,)(θ0−=∫θθ为 0 到 ds 的距离.
因 其 凸 , 因 为 可 剖 分 出 很 多 个 三 角 形 之 和 , 面 积 为dtttfdθfhds)sin()()(θ21210−=•∫θθ, 相加得 S 由此我们可设想0)sin()()(θ0>−=∫dtttfhθθ, 对(2 , 0)πθ∈易知0)(θ>h.
当(2 , 0)πθ∈时从图的对称性, 我们可想到, 从另一边来考虑此问题, 也可对称推得0)(θ>h